Tarea 18: Volumen de un toro

Un toro es una superficie de revolución generada por una circunferencia  que gira alrededor de una  recta exterior. El toro genera un hueco en su interior, apropiando la forma semejante a un neumático, el hueco central es circular y tiene como radio R - r, lo que supone R > r.

Si R = r se obtiene una forma sin hueco central parecida a una esfera desformada donde se juntarían los polos en su centro, y no es  topológicamente equivalente a un toro usual.

Si R < r se obtiene una forma intermedia entre la anterior y una esfera (es decir que los polos se acercan pero no se tocan).

Su volumen es   V = 2·π²·r²·R

Su superficie es   S = 4·π²·r ·R

Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño dr, y los volúmenes de estas capas se aproximan a S(r)·dr cuando dr tiende hacia cero.
Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio r varía de cero a R da por definición la integral siguiente: