la Banda de Möbius

La Banda de Moebius
Uno de los objetos matemáticos más famosos dentro y fuera de la propia matemática 

Una superficie ordinaria tiene dos caras. Esto se aplica a las superficies cerradas como la esfera y el toro, y a las superficies con contornos curvos, como un disco o un toro del que se haya quitado un trozo.
Las dos caras de una superficie tal, podrían pintarse con colores diferentes para distinguirlas. 
Si la superficie es cerrada, los dos colores nunca se juntan. 
Si la superficie tiene límites curvos, los dos colores se encuentran solamente a lo largo de estas curvas. 
Un bicho que se arrastrara sobre tal superficie y tuviera prohibido cruzar las curvas límites, si existen, siempre quedaría en la misma cara. 
A. F. Möbius hizo el sorprendente descubrimiento de que existen superficies con una sola cara. 
La mas simple de estas superficies es la llamada banda de Möbius, formada tomando una larga tira rectangular de papel y uniendo sus extremos después de darle media vuelta. 
Un bicho que se arrastrara sobre esta superficie, andando siempre por la parte media de la tira, llegaría a su posición original en el lado inferior, como se aprecia en el dibujo del artista gráfico M. C. Escher (1898-1972)

Cualquiera que se comprometiera a pintar una cara de la banda de Möbius podría hacerlo introduciendo toda la tira en un bote de pintura.
Otra propiedad curiosa de la banda de Möbius es que su contorno está formado por una curva simple cerrada. 
La superficie ordinaria de dos lados, formada uniendo los extremos de un rectángulo sin retorcerlo, tiene dos contornos curvos  distintos. 
Si esta última tira se corta a lo largo de la línea central, se rompe en dos tiras distintas de la misma clase. Pero si se corta la banda de Möbius a lo largo de esta línea, encontramos que queda de una sola pieza.
Resulta difícil, para cualquiera que no esté familiarizado con la banda de Möbius, predecir este comportamiento, tan contrario a la intuición de lo que "debería" suceder. 
Si la superficie que resulta de cortar la banda de Möbius a lo largo de su línea media se corta otra vez a lo largo de dicha línea media, se forman dos tiras, separadas pero entrelazadas. 
Es fascinante jugar con tales tiras, cortándolas de parte a parte a lo largo de líneas paralelas al contorno a distancias de 1/2, 1/3, etc. 
Ciertamente, la banda de Möbius merece un lugar en la instrucción geométrica elemental.