Teorema de Lagrange

Se han implantado nuevos radares en las carreteras, que miden el tiempo transcurrido al recorrer una determinada distancia. Esto permitirá multar a conductores que sobrepasen el límite establecido aunque no se les haya fotografiado hacíendolo, gracias a un importante resultado matématico. Se trata de un sistema mucho más potente porque se controla la velocidad en un tramo de varios kilómetros, no en un punto determinado.

Imaginemos que un vehículo entra en el túnel.Supondremos que el túnel mide 3km y que en el mismo la velocidad está limitada a 100 km/h. El primer radar mide una velocidad de 90km/h. El segundo, de 85km/h. Con los antiguos radares, todo estaría correcto. Sin embargo, estos miden un dato más: cuando el coche entra en el túnel se pone en marcha un cronómetro, que para cuando el segundo radar detecta su salida. En nuestro supuesto, ha tardado 90 segundos.

Sabemos que .
Se trata de un dato fácil de calcular, puesto que el espacio es lo que mide el túnel (3km) y el tiempo lo miden entre el radar situado a la entrada y el de la salida (90s = 0.025h). Por tanto

Esto sobrepasa la velocidad permitida en el túnel, que hemos supuesto de 100km/h.

Gracias a las Matemáticas, concrétamente al Análisis matemático, podemos saber que ha superado la velocidad marcada. Un resultado de este, el teorema de Lagrange, garantiza que si el vehículo ha desarrollado una determinada velocidad media, en algún momento de su trayecto iba justo a esa velocidad. Por tanto, si la velocidad media es de 120 km/h, en algún momento ha tenido que sobrepasar el límite.

O lo que es lo mismo, la pendiente de la recta tangente a la grafica en un punto (que vale f’(c) ) es igual a la pendiente de la recta que une el principio y el fin de la gráfica (que es la velocidad media)

Veámoslo en un lenguaje más asequible.

Antes hablábamos de velocidad media. Puesto que esta es espacio entre tiempo, coindide con la pendiente de la recta que une el principio y el fin de la gráfica (en azul en la imagen anterior). Lo cual tiene su lógica, puesto que a más recorrido en menos tiempo la pendiente será más inclinada.

Pero también hay otra manera de medir la velocidad, y es la que marca en cada momento el cuenta kilómetros del coche. Gráficamente, ésta queda representada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en cada punto (en rojo en la imagen).
De este modo, vemos como el conductor entró al túnel con una velocidad reducida para evitar el radar, luego aceleró durante el túnel y finalmente volvió a reducir la velocidad a la salida, donde está colocado el otro radar.

Aceptando el teorema de Lagrange (no lo voy a demostrar aquí), lo que nos dice gráficamente es que en algún punto la recta tangente a la gráfica es paralela a la que une el principio y el fin de la gráfica. Por ejemplo:

Y si son paralelas, tienen la misma pendiente, por lo que la velocidad a la que iba en ese punto es la misma que la velocidad media. Es decir,hemos probado que en algún momento el conductor ha ido a 120 km/h, aunque no lo hayamos visto directamente.

¿Quién decía que las matemáticas no tenían aplicación?