Pitágoras - Música y Matemáticas

La palabra matemáticas proviene del término griego Mathema, que significa conocimiento.

Los pitagóricos dividieron esta ciencia en cuatro secciones: aritmética, geometría, astronomía y música, que constituían la esencia del conocimiento

LA ESCALA DIATÓNICA

Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis). Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones  1:2 (los extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y 2), y 3:4 (media aritmética de 1 y 2) producían al hacerlas vibrar combinaciones de sonidos agradables (armónicos) y construyó una escala a partir de estas proporciones:

3:4 es la media aritmética de 1 y 1/2 

2:3 es la media armónica de 1 y 1/2

Proporciones	1/1	1/2	2/3		3/4
Sonido	Unísono	Octava	Quinta		Cuarta

Hoy los llamamos octava,  quinta y cuarta porque corresponden a esas notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). 

Las tres medias (armónica, geométrica y aritmética) forman una progresión geométrica. Pero, ¿qué le pasó a la media geométrica?. ¿Fue rechazada por su inconmensurabilidad?
 ¡Correspondía exactamente al Fa sostenido de la escala cromática!
En su lugar, usaron la quinta repetidas veces (ciclo de quintas). Cada vez que sobrepasaban la octava, multiplicaban por 2 la longitud de la cuerda para retroceder a la octava original.

SOL (por 2:3) > RE (por 2:3) > LA (por 2:3) > MI (por 2:3) > SI   

Las longitudes de las cuerdas correspondientes quedan así:

do	re	mi		fa	sol	la	si		do
1	8:9	64:81	h	3:4	2:3	16:27	128:243	h	1:2

La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 9:8 (tono), salvo en los casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (hemitono). La pauta entre tonos y hemitonos es 2-h-3-h.
El problema reside en que aplicar dos hemitonos no equivale a aplicar un tono. Además, la distribución de tonos y hemitonos es irregular.

La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi ) a 7 octavas.  (3/2)12 / (2:1)7 = 1'0136... A la diferencia entre estos dos ciclos se le llamó coma pitagórica.

Esta diferencia (que acumulada a lo largo de las octavas produce la coma pitagórica) condiciona la escala "según la nota en que se empiece" (tonalidad). Por ello, se crean varios modos distintos. Los más importantes, el modo mayor (a partir de do, 2-h-3-h) y el modo menor (a partir de la, 1-h-2-h-2).